Les séquences apparaissent dans toutes les formes de la vie quotidienne. Parmi les exemples simples, citons l’heure sur une horloge ou le nombre de répétitions qui augmente régulièrement dans votre programme d’exercices. Il est donc important que vous vous familiarisiez le plus tôt possible avec ce concept mathématique. Dans ce guide, nous vous expliquons tout ce que vous devez savoir sur la progression arithmétique.
Qu’est-ce que la progression arithmétique?
La progression arithmétique (PA) est une séquence arithmétique dans laquelle chaque nombre a une différence commune. Il s’agit de l’un des types de séquences les plus simples dans le monde des mathématiques, car chaque terme consécutif augmente de la même quantité.
Voici quelques exemples de progressions arithmétiques:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ….
3, 8, 13, 18, 23, 28 ….
Examinons les deux exemples ci-dessus. Ils peuvent tous deux être considérés comme des termes successifs dans une progression arithmétique, car chaque nombre de la série arithmétique augmente du même chiffre.
Pour le premier exemple, la différence commune est 2.
Car 2 + 2 = 4 puis 4 + 2 = 6 puis 6 + 2 = 8 et ainsi de suite.
De même, dans le deuxième exemple, il y a également une différence commune, mais cette fois, les termes consécutifs sont additionnés de 5 à chaque fois.
Ainsi, 3 + 5 = 8 puis 8 + 5 =13 puis 13 + 5 = 18 et ainsi de suite.
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Propriétés des progressions arithmétiques
Comme pour chaque élément des mathématiques, la PA s’accompagne de son propre ensemble de propriétés spécifiques et vous permet de reconnaître quand une séquence est une progression arithmétique, et non un autre type de séquence, comme une progression géométrique, par exemple.
Voici les principales propriétés des progressions arithmétiques:
- Si le même nombre est ajouté à partir du terme précédent d’une PA, les termes résultants de la séquence sont également en PA en utilisant la même différence commune.
- Si le même nombre est soustrait du terme précédent d’une PA, les termes résultants de la séquence sont également dans la PA en utilisant la même différence commune.
- Si chaque nombre d’une PA est divisé par le même nombre non nul, la séquence résultante est également dans une PA.
- Si chaque nombre d’une PA est multiplié par le même nombre non nul, la séquence résultante est également dans une PA.
- Trois nombres x, y et z sont dans une PA si 2y = x + z.
- Une séquence est une PA si son nième terme est une expression linéaire.
- Si nous sélectionnons des termes dans l’intervalle régulier d’une PA, ces termes sélectionnés seront également dans une PA.
Formules de progression arithmétique
Une fois que vous êtes capable de déchiffrer la différence commune entre un ensemble de nombres dans une séquence PA, la compréhension de la formule devient plus facile. Il existe plusieurs types de formules différentes que vous pouvez utiliser lorsque vous étudiez la progression arithmétique.
La forme générale de la PA
Tout d’abord, nous avons la forme générale de la PA, qui est la formule la plus basique liée à la progression arithmétique. Elle décrit simplement, en termes mathématiques, le processus qui se déroule dans la séquence.
La formule est la suivante:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .
Dans cette formule, a est le terme initial et d est la différence commune.
Donc, en travaillant à partir du terme initial, vous avez ce nombre plus la différence. Ensuite, pour calculer le troisième nombre de la séquence, vous devez prendre le nombre initial et multiplier la différence par 2 et l’ajouter à votre terme initial… et ainsi de suite.
Le Nième terme de la PA
Cette formule est légèrement plus compliquée, mais elle peut être utilisée pour trouver n’importe quel nombre dans la séquence, ce qui en fait une formule extrêmement utile à comprendre.
La formule est la suivante:
an = a + (n – 1) × d
Bien que cela puisse paraître compliqué, pour tout problème dans lequel vous devez déchiffrer le Nième terme, vous recevrez toutes les informations dont vous avez besoin. Tout ce que vous avez à faire est de les entrer dans la formule.
Prenons un exemple:
Trouver la valeur de n, si a = 10, d = 5, an = 95.
an = a + (n – 1) × d
95 = 10 + (n – 1) × 5
(n – 1) × 5 = 95 – 10 = 85
(n – 1) = 85/ 5
(n – 1) = 17
n = 17 + 1
n = 18
Somme de la progression arithmétique
De plus en plus complexe, cette dernière formule est la plus déroutante de toutes, mais ne vous laissez pas déconcerter par l’assaut de lettres et de chiffres, car elle est aussi simple que la formule précédente. Tout ce que vous devez faire est de substituer les chiffres dans la formule.
La formule est la suivante:
S = n/2 [2a + (n – 1) × d]
a = Élément initial
d = Différence commune
n = Nième terme
Les problèmes de solution en classe sont généralement intégrés dans un problème complexe, dans lequel vous devez sélectionner les informations pertinentes et les insérer dans la formule. Voici un exemple:
Smith gagne 400 000 $ par an. Il a négocié son salaire pour gagner 50 000 $ de plus par an. Combien gagne-t-il à la fin des 3 premières années?
La seule information importante dans cette question, ce sont les chiffres. Vous pouvez donc largement ignorer tous les mots contextuels entourant les chiffres. Tout ce que vous devez savoir, c’est qu’il gagne actuellement 400 000 $ par an, ce qui en fait son terme initial. Son salaire augmente de 50 000 $ par an, ce qui en fait la différence commune, et vous devez calculer son salaire après 3 ans, ce qui fait de 3 le chiffre de la séquence que vous additionnez.
En l’entrant dans la formule, on obtient le résultat suivant:
Sn= 3/2(2(400000)+(3-1)(50000))
= 3/2 (800000+100000)
= 3/2 (900000)
= 1350000
Nous savons donc qu’il a gagné 1 350 000 $ au cours des trois années qu’il a passées dans l’entreprise.
Guide de résolution des problèmes de mathématiques
Termes courants utilisés dans la progression arithmétique
Il existe certains termes courants qui sont fréquemment utilisés lorsqu’on parle de PA. Afin d’obtenir une compréhension complète de la progression arithmétique, vous devez d’abord comprendre à quoi se rapportent tous ces mots et expressions.
Terme initial
Il s’agit du premier chiffre de la séquence. Ce premier nombre sera toujours votre point de départ et est essentiel dans pratiquement toutes les formules de PA.
Différence commune
La différence commune est le principal élément qui différencie une progression arithmétique d’autres séquences telles qu’une progression géométrique. Elle ne fait référence qu’au fait que chacun des termes consécutifs de la séquence augmente du même nombre.
Nième terme
Lorsque vous recevez des questions sur la progression arithmétique, le plus souvent, on vous demandera de trouver le Nième terme d’une suite. Cela signifie que l’on vous demande de trouver un nombre spécifique dans la séquence. Le N est un substitut du nombre que l’on vous demande de trouver. Par exemple, vous pouvez avoir besoin de trouver le 10ème, 100ème ou 1000ème terme. Le N est le substitut dans la formule que vous utilisez pour calculer ces nombres.
Différences entre la progression arithmétique et la progression géométrique
Les gens confondent souvent les différentes séquences mathématiques et supposent à tort qu’elles ont les mêmes propriétés. Or, cette supposition vous conduira à commettre des erreurs mathématiques en mélangeant les formules et les éléments numériques.
L’une des séquences les plus courantes que l’on confond est la progression arithmétique et la progression géométrique. Afin de dissiper toute confusion, nous avons dressé une liste des principales différences entre les deux.
- PG a un rapport commun, PA n’en a pas
- PA a une différence commune, PG n’en a pas
- Le suivant dans la séquence est le produit du nombre précédent et du rapport commun.
- Le suivant dans la séquence est la somme du nombre précédent et de la différence commune.
- La variation de PG est non linéaire
- La variation de PA est linéaire
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Il est impossible d’échapper à la progression arithmétique, car elle apparaîtra à coup sûr dans vos tests de mathématiques à l’école. Elle a également une abondance d’applications dans la vie réelle, ce qui signifie qu’il est important que vous compreniez les bases entourant ce concept mathématique. Les tuteurs de Tutorax sont là pour faire en sorte que vous atteigniez votre plein potentiel académique. Nous offrons des services de tutorat en personne et en ligne afin que vos séances puissent s’intégrer parfaitement à votre emploi du temps.