Les mathématiques comportent tellement d’éléments différents qu’il est difficile de les maîtriser tous. Pendant que vous vous concentrez sur le théorème de Pythagore, la progression géométrique est laissée de côté. Ne vous inquiétez pas, nous sommes là pour vous aider à comprendre ce que sont les progressions géométriques et comment les calculer. Dans ce guide, nous vous expliquons tout ce que vous devez savoir sur la progression géométrique.
Qu’est-ce qu’une progression géométrique?
Une progression géométrique est un type particulier de progression/séquence. Pour qu’une suite de nombres soit considérée comme une progression géométrique, ils doivent tous être multipliés par un rapport commun. Le nombre précédent de la séquence multiplié par le rapport commun vous donnera le nombre suivant de la série géométrique.
Par exemple, si votre nombre commun était 2, la séquence serait la suivante:
2, 4, 8, 16, 32…
Nous pouvons observer la progression géométrique, car chaque terme successif est le terme précédent multiplié par deux. Ainsi, 2 x 2 = 4 puis 4 x 2 = 8 puis 8 x 2 = 16 puis 16 x 2 = 32.
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Pourquoi est-elle appelée une progression géométrique?
Si vous pensiez que la progression géométrique avait quelque chose à voir avec les formes et la géométrie, vous n’êtes pas le premier. Alors pourquoi la progression géométrique est-elle appelée progression géométrique? Et bien, la réponse est partiellement liée à la géométrie, même si cela ne semble pas être le cas au premier abord.
Le terme progression géométrique vient de l’idée de moyenne géométrique. La moyenne géométrique permet de créer des triangles rectangles parfaits, car chaque longueur de côté est multipliée par le rapport commun pour augmenter la longueur des côtés d’un triangle à intervalles réguliers. Par conséquent, bien que nous ayons principalement affaire à des nombres lorsque nous résolvons la séquence, ils peuvent également être utilisés à des fins géométriques, d’où leur nom.
Quelle est la différence entre la progression géométrique et la progression arithmétique?
Il existe de nombreuses différences entre une progression géométrique (PG) et une progression arithmétique (PA), mais les gens confondent souvent les deux. Vous trouverez ci-dessous un aperçu des principales différences:
- PG a un rapport commun, PA n’en a pas
- PA a une différence commune, PG n’en a pas
- Le nombre suivant de la séquence est le produit du nombre précédent et du rapport commun
- Le suivant dans la séquence est la somme du nombre précédent et de la différence commune
- La variation de PG est non linéaire
- La variation de PA est linéaire
Combien de progressions géométriques sont possibles?
Un nombre infini de progressions géométriques est possible dans une séquence donnée. Bien que le terme initial puisse être aussi petit que 2, le fait de multiplier continuellement par le rapport commun vous permettra d’augmenter le nombre indéfiniment. Il existe donc une infinité de termes possibles pour les séquences de progression. Cependant, il existe certains types de PG qui sont spécifiquement définis comme des progressions finies.
Quelles sont les propriétés de la progression géométrique (PG)?
Il existe certaines propriétés communes à toutes les progressions géométriques, qui nous aident à regrouper les séquences et à mieux les comprendre. Vous trouverez ci-dessous les principales propriétés que vous devez connaître:
- Si vous multipliez une quantité non nulle par chaque terme d’une PG, la séquence résultante partage la différence commune et sera également une PG.
- Si vous divisez une quantité non nulle par chaque terme d’une PG, la séquence résultante partage la différence commune et sera également une PG.
- Les réciproques de tous les termes d’une PG forment également une PG.
- Si tous les termes d’une PG sont élevés à la même puissance, la nouvelle série est également une PG.
- Si y² = xz, alors les trois termes non nuls x, y et z sont dans une PG.
Formules de progression géométrique
nième terme
La formule du nième terme ressemble à ceci:
an = arn – 1 (ou) an = r an – 1
Tout ce dont vous avez besoin pour trouver le nième terme d’une suite est le terme initial et le rapport commun. Dans la formule, chaque lettre correspond à ce qui suit:
a = le terme initial
r = le rapport commun
n = les termes consécutifs que vous voulez calculer
C’est l’une des formules les plus utiles pour calculer les termes d’une PG. En effet, elle n’a pas besoin d’être utilisée pour calculer des termes adjacents, mais peut être utilisée pour calculer n’importe quel terme de la séquence. Vous pouvez l’utiliser pour trouver le 3e terme, le 8e terme, le 15e terme ou même le 100e terme, ce qui vous permet d’aller bien au-delà des simples termes adjacents.
Pourquoi est-il important de suivre l’ordre des opérations?
Formule de la somme de la progression géométrique
Si vous devez calculer la somme de tous les nombres de votre séquence, vous pouvez utiliser la formule de somme de la progression géométrique. La formule de somme est différente selon que vous calculez la somme d’une série finie ou infinie.
La formule de la somme finie est la suivante:
Sn = a(1 − rn)/(1 − r) pour r ≠ 1, et
Sn = an pour r = 1
La formule de la somme infinie est la suivante:
S∞ = a/(1 – r), lorsque |r| < 1
La somme ne peut être trouvée lorsque |r| ≥ 1.
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