Dans cet article, nous couvrons le monde des multiples. L’objectif principal, cependant, est de déterminer quel est le plus petit multiple commun d’un nombre. Toutes les informations dont vous avez besoin pour comprendre ce concept sont fournies dans cet article. Nous partageons également des exemples pour vous aider à maîtriser l’arithmétique rapidement !
Besoin d’aide en mathématiques ?
Qu’est-ce qu’un multiple ?
Un multiple est un nombre qui peut être divisé en deux parties sans laisser de reste. Par exemple, 24 est un multiple de 12 ainsi que 1, 2, 3, 4, 6, 8 et 24. Les facteurs et les multiples sont des concepts liés. Par exemple, 4 est un facteur de 12 et 12 est un multiple de 4.
Qu’est-ce qu’un multiple commun ?
Le plus petit commun multiple (PPCM) est également connu sous le nom de plus petit diviseur commun. Le PPCM est le plus petit entier positif qui est également divisible par a et b pour deux entiers naturels, abrégé PPCM (a,b). PPCM (2,3), par exemple, est égal à 6 et PPCM (6,10), est égal à 30.
Le plus petit multiple commun (PPCM) de deux nombres ou plus est le plus petit nombre également divisible par tous les nombres de l’ensemble.
À quoi servent les PPCM ?
Les multiples communs les plus petits sont utiles lors de l’addition ou de la soustraction de fractions, ou de la comparaison de fractions dans la même dénomination.
Par exemple, pour calculer 3/5 + 1/6, vous devez calculer le plus petit commun multiple de 5 et 6 pour déterminer le dénominateur commun (30). Les fractions peuvent ensuite être converties en 18/30 + 5/30 = 23/30.
Quelle est la manière la plus simple de trouver des multiples communs ?
Pour déterminer les multiples communs d’un ensemble de nombres, vous devez d’abord lister tous les multiples des nombres, puis commencer à sélectionner les multiples communs.
En listant leurs multiples, vous pouvez rapidement trouver les multiples communs de deux nombres. Vous pouvez indiquer ou encercler les multiples qui sont partagés par les deux nombres après avoir répertorié les multiples des nombres entiers spécifiés. Ce sont les multiples communs des deux nombres.
Cherchons des multiples typiques de 2 et 5 à titre d’exemple :
- 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc. sont tous des multiples de deux.
- 5, 10, 15, 20, 25, 30,… sont tous des multiples de cinq.
En conséquence, les multiples populaires de 2 et 5 incluent : 10, 20,… et ainsi de suite. Il convient de noter que tous les multiples communs sont divisibles et peuvent être divisés par 2 ou 5.
PPCM d’un ensemble
Vous pouvez identifier les multiples communs de trois nombres en utilisant la même technique que vous avez utilisée pour trouver les multiples communs de deux nombres. Les multiples communs sont les multiples que les trois nombres ont en commun.
Voyons quels sont les multiples les plus courants de 10, 20 et 30. Il existe plusieurs multiples qui prévalent dans les multiples de 10 et 20, mais pas dans les multiples de 30. Par conséquent, ils ne peuvent pas être considérés comme des multiples communs aux trois nombres. Vous devez choisir les multiples communs aux trois valeurs.
Pour trouver leurs multiples communs, dressez une liste des multiples de 10, 20 et 30.
- 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, etc. sont tous des multiples de dix.
- 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, etc. sont tous des multiples de 20.
- 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, etc. sont tous des multiples de 30.
60 et 120 sont des multiples typiques de 10, 20 et 30, et ainsi de suite.
Quelles sont les propriétés du plus petit commun multiple (PPCM) ?
Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre qui peut être divisé par les nombres fournis. Diverses approches, telles que la méthode de listage, la méthode de factorisation en nombres premiers et la méthode de division, peuvent être utilisées pour calculer le plus petit commun multiple (PPCM) de nombres.
Voici les propriétés d’un PPCM :
- Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres ou plus ne peut pas être inférieur à l’un d’eux. Le PPCM de 3, 8 et 12 est égal à 24, ce qui n’est pas inférieur à l’une des valeurs données.
- Le PPCM d’un nombre est le plus grand nombre lui-même s’il est le facteur d’un autre nombre. Le PPCM de 8 et 16 est, par exemple, le nombre 16.
Comment trouver le plus petit commun multiple d’un nombre ?
Méthode des multiples communs
Pour cette méthode, répertoriez les multiples de chaque nombre jusqu’à ce qu’au moins l’un d’entre eux apparaisse sur toutes les listes. Ensuite, sur toutes les listes, trouvez le plus petit nombre commun. C’est le PPCM !
Par exemple : PPCM(6,7,21)
- Listons d’abord les multiples de 6 :
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 72,
- Ensuite, faisons de même pour 7 :
7, 14, 21, 28, 35, 42, 56, 63
- Enfin, il faut lister les multiples de 21 :
21, 42, 62…
Trouvez le plus petit nombre qui apparaît sur chaque liste. Il est surligné en gras ci-dessus.
En conséquence, PPCM(6, 7, 21) est égal à 42.
Voici un autre exemple. Utilisons l’approche de liste pour trouver le PPCM de 3 et 7.
- 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,… sont tous des multiples de trois.
- 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, etc. sont tous des multiples de sept.
Les multiples typiques de 3 et 7 sont 21, 42, et ainsi de suite, comme on peut le voir. Le plus petit multiple parmi ces multiples communs est 21. Parce qu’il est le plus petit de tous les multiples communs, le PPCM de 3 et 7 est 21. En conséquence, le PPCM de 3 et 7 est égal à 21.
Factorisation des nombres premiers
Pour cette méthode (algorithme de calcul), aussi appelée décomposition en facteur premier, vous devez déterminer tous les facteurs premiers d’un nombre. Dressez la liste de tous les nombres premiers trouvés, dans l’ordre dans lequel ils apparaissent le plus fréquemment pour chaque nombre donné. Afin de trouver le plus petit commun multiple, écrivez la liste des facteurs premiers et procédez à la multiplication des facteurs communs.
Trouver la factorisation première de a et de b donne le PPCM(a,b). Utilisez la même procédure pour trouver le PPCM pour plus de deux nombres.
Par exemple, pour PPCM(12,30) on trouve :
- Facteurs premiers de 12 = 2, 2, 3
- Facteurs premiers de 30 = 2, 3, 5
On prend la somme de tous les nombres premiers trouvés dans l’ordre dans lequel ils apparaissent le plus fréquemment : 2 × 2 × 3 × 5 = 60
Par conséquent, PPCM(12,30) = 60
Plus grand facteur commun
Pour cette méthode, nous utilisons la méthode du plus grand facteur commun. Premièrement, qu’est-ce qu’un facteur? Un facteur est un nombre qui est produit lorsque deux nombres sont divisés de manière égale. Un facteur est également appelé diviseur dans ce contexte. Le plus grand nombre partagé par tous les facteurs est le plus grand facteur commun de deux nombres ou plus.
La méthode de calcul pour trouver le PPCM d’une collection de nombres utilisant le plus grand facteur commun (GCF) est : PPCM(a,b) = (a×b)/GCF(a,b)
Voici un exemple. Trouver PPCM(6,10)
- Facteurs de 6 : 1, 2, 3, 6
- Facteurs de 10 : 1, 2, 5, 10
GCF (6,10) = 2
Calculez (6×10)/2 = 60/2 = 30 en utilisant l’algorithme PPCM par GCF.
En conséquence, PPCM(6,10) = 30.
Méthode du gâteau
Une autre méthode est la méthode du gâteau qui utilise la division pour trouver le PPCM. Parce qu’il s’agit d’une division simple, les gens considèrent que l’approche du gâteau est le moyen le plus rapide et le plus simple de trouver le PPCM. Les boîtes et les grilles peuvent différer en apparence, mais elles utilisent toujours la division principale pour trouver le PPCM.
Trouver le PPCM(10, 12, 15, 75)
- Faites une couche de gâteau avec vos numéros (rangée)
10 12 15 75
- Divisez les numéros de la couche par un nombre premier qui est également divisible par deux ou plusieurs des numéros du calque, puis amenez le résultat à la couche suivante.
2: 10 12 15 75
5 6 – –
- Si un nombre entier de la couche n’est pas divisible de manière égale, écrivez-le simplement.
2: 10 12 15 75
5 6 15 75
- Continuez à diviser les couches du gâteau en nombres premiers. Vous avez terminé lorsqu’il n’y a plus de nombres premiers qui peuvent être divisés en deux nombres ou plus.
2: 10 12 15 75
3: 5 6 15 75
5: 5 2 5 25
1 2 1 5
Le PPCM est le produit des nombres premiers dans la colonne de gauche et la ligne du bas (en gras).
PPCM = 2 x 3 x 5 x 2 x 5
= 300
Le plus petit commun multiple de 10, 12, 15 et 75 est donc 300 !
Besoin d’aide en maths ?
Les services de tutorat à domicile et en ligne de Tutorax sont accessibles aux élèves du primaire, du secondaire, du Cégep et même de l’université. Un certain nombre de matières, dont les mathématiques, l’anglais, la géographie, la chimie et le français, sont accessibles pour le tutorat. Nos tuteurs peuvent vous aider avec les devoirs, la préparation aux examens et le soutien en classe, entre autres.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que le PPCM ?
Comme expliqué ci-haut, le plus petit commun multiple aussi appelé PPCM est aussi connu sous le nom de plus petit diviseur commun. Il s’agit du plus petit entier positif qui est également divisible par a et b pour deux entiers.
Quand utilise-t-on le PPCM ?
Il est recommandé d’utiliser le PPCM lorsqu’il vous est demandé de trouver le PPCM de deux ou plusieurs nombres, notamment lorsqu’il est question de fractions (ex. calcul de fractions équivalentes).
Quel est le PPCM de 9 et 21 ?
Le PPCM(9,21) est 63, découvrons ensemble pourquoi :
PPCM(9,21) = (9×21)/GCF(9,21)
PPCM(9,21) = (9×21)/3
PPCM(9,21) = 63
Plus grand facteur commun :
Avec 9 : 1, 3, 9
Avec 21 : 1, 3, 7, 21
Quel est le PPCM de 30 et 45 ?
Le PPCM(30,45) est de 90, calculons-le ensemble :
PPCM(30,45) = (30×45)/GCF(30,45)
PPCM(30,45) = (30×45)/15
PPCM(30,45) = 90
Plus grand facteur commun :
Avec 30 : 1, 2, 3, 5, 10, 15, 30
Avec 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45
Comment trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) ?
Pour trouver le plus grand commun diviseur pour des entiers relatifs (non nuls), les méthodes sont assez similaires à celles du PPCM. Vous pouvez soit :
- Dresser une liste de tous les diviseurs entre les deux nombres, puis repérer le plus grand commun diviseur.
- Élaborer un tableau dans lequel vous regroupez les diviseurs des deux nombres jusqu’à tomber sur le plus grand.
- Créer l’arbre des facteurs de chaque nombre, identifier les facteurs communs et les multiplier afin de trouver le produit de facteurs premiers des entiers.
Certains procèdent aussi par les décompositions en facteurs premiers des deux entiers. Après tout, le PGCD d’un nombre a et b équivaut au produit des facteurs premiers communs des décompositions, le tout affecté par leur plus petit exposant.
Trouver un tuteur près de chez vous :
Tutorat à Montréal – Tutorat à Laval – Tutorat à Québec – Tutorat à Sherbrooke – Tutorat à Gatineau – Tutorat à Longueuil – Tutorat à Blainville – Tutorat à Boisbriand – Tutorat à Rosemère – Tutorat à Trois-Rivières