Qu’est-ce qu’un nombre rationnel?
Les nombres rationnels peuvent être représentés comme un quotient de deux nombres entiers. Ils sont exprimés sous la forme d’une fraction a / b, où a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro.
La plupart des individus ont du mal à faire la distinction entre les fractions simples et les nombres rationnels. Les nombres entiers constituent les fractions, tandis que les nombres réels constituent le numérateur et le dénominateur des nombres rationnels.
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Quelle est la différence entre les nombres rationnels et irrationnels?
Quels sont les nombres irrationnels?
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels. Voici quelques exemples de nombres irrationnels fréquemment utilisés:
- Le nombre (pi) est irrationnel (Π = 3⋅14159265…), car la valeur décimale ne s’arrête jamais.
- √2 est un nombre irrationnel. Considérons un triangle équilatéral isocèle avec deux côtés égaux de longueur, AB et BC. L’hypoténuse AC sera √2=1,414213… selon le théorème de Pythagore.
La différence entre les nombres rationnels et irrationnels
Les nombres irrationnels sont infinis et non répétitifs, tandis que les nombres rationnels sont des décimales finies et répétitives.
Voici quelques exemples de nombres rationnels:
- Le nombre 9 peut être exprimé par 9/1, 9 et 1 étant tous deux des nombres entiers.
- Dans toutes les formes décimales terminales, 0.5 peut être écrit comme 1/2, 5/10 ou 10/20.
- √81 est un nombre rationnel puisqu’il peut être réduit à 9.
- 0,7777777 est un nombre rationnel avec des décimales récurrentes.
Exemples de nombres irrationnels:
- Le dénominateur de 5/0 est zéro, ce qui en fait un nombre irrationnel.
- Π est un nombre irrationnel, car c’est un nombre non répétitif et sans fin.
- Parce qu’elle ne peut pas être simplifiée, la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel.
- Parce qu’il ne se répète pas et ne se termine pas, 0.212112111… est un nombre irrationnel.
Comment identifier les nombres rationnels
Un nombre rationnel peut être exprimé comme une fraction de nombres entiers. Par conséquent, chacun de ces chiffres est un chiffre rationnel. Pour déterminer si un certain nombre est rationnel, vérifiez s’il répond à l’un des critères suivants:
- Le nombre donné peut être représenté comme une fraction d’entiers.
- On peut déterminer si le développement décimal du nombre est avec ou sans terminaison.
- Tous les nombres rationnels sont des nombres entiers.
Les différents types de nombres rationnels
Il existe différents types de nombres rationnels. Toutefois, il ne faut pas croire que seuls les nombres rationnels sont des fractions de nombres entiers. Voici les différents types de nombres rationnels:
Nombres rationnels positifs
Si le numérateur et le dénominateur d’un nombre rationnel sont tous deux des entiers positifs ou tous deux des entiers négatifs, on dit que le nombre est positif. En d’autres termes, si le numérateur et le dénominateur d’un nombre rationnel ont le même signe, il est positif. Les nombres rationnels positifs comprennent des chiffres comme 0.2, 6 ou 2/5. Dans ce cas, 0.2 peut être exprimé par 1/5 et 6 par 6/1.
Nombres rationnels négatifs
Si le numérateur et le dénominateur ont un signe différent (c’est-à-dire que l’un est un nombre entier positif et l’autre un nombre entier négatif), on dit que le nombre rationnel est négatif. Par exemple, les nombres rationnels suivants sont négatifs : -1/7, -4/5, -25/11, -10/19, -13/23, tandis que les nombres rationnels suivants sont positifs : -11/-14, 2/3, -3/-4, et 1/2.
Nombres réels
Les nombres réels comprennent tous les nombres rationnels. Un nombre réel est un nombre que l’on peut trouver et utiliser dans la vie de tous les jours. Les nombres réels sont utilisés pour compter les choses, les nombres rationnels sont utilisés pour représenter les fractions, les nombres irrationnels sont utilisés pour calculer la racine carrée d’un nombre, et les nombres entiers sont utilisés pour mesurer la température, etc. L’ensemble des nombres réels est composé de ces nombreux types de nombres.
Nombres entiers
Puisque chaque nombre entier peut être écrit sous forme de fraction, chaque nombre entier est un nombre rationnel. Un ensemble de nombres qui comprend tous les nombres entiers positifs et 0 est appelé un nombre entier. Les nombres entiers sont des fractions, des décimales et des valeurs négatives qui ne font pas partie des nombres réels.
Propriétés des nombres rationnels
Voici quelques-unes des propriétés les plus importantes des nombres rationnels. Examinons de plus près ces caractéristiques tout en explorant une liste de nombres rationnels.
Propriété de clôture algébrique
La propriété de clôture algébrique des nombres rationnels affirme que deux nombres rationnels ajoutés, soustraits, multipliés ou divisés produisent tous un nombre rationnel. Voyons comment cette propriété affecte toutes les opérations arithmétiques de base.
Lorsque deux nombres rationnels sont combinés ensemble sous quelque forme que ce soit, le résultat est un autre nombre rationnel.
Par exemple:
½ + ¾ = 10/8 ou 5/4
½ – ¾ = -2/8 ou -1/4
½ x ¾ = 3/8
½ ÷ ¾ = 2/3
Toutes les réponses ci-dessus répondent aux critères d’un nombre rationnel.
Propriété commutative
La propriété commutative des nombres rationnels stipule que l’addition ou la multiplication de deux nombres rationnels dans n’importe quel ordre produit le même résultat. Cependant, si l’ordre des nombres est modifié dans la soustraction et la division, le résultat variera.
- Avec l’addition: 1/3 + 1/4 est identique à 1/4 + 1/3, car les deux sont égaux à 7/12. Ainsi, a + b est identique à b + a.
- Avec la soustraction: 1/3 – 1/4 n’est pas identique à 1/4 – 1/3. Le premier est égal à 1/12 alors que le second est égal à -1/12. Par conséquent, a – b n’est pas égal à b – a.
- Avec la multiplication: 1/3 x 1/4 et 1/4 x 1/3 sont tous deux égaux à 1/12. Par conséquent, a x b est égal à b x a.
- Avec la division: 1/3 ÷ 1/4 n’est pas identique à 1/4 ÷ 1/3. Le premier est égal à 4/3, et le second à 3/4. Ainsi, a ÷ b n’est pas identique à b ÷ a.
Propriété associative
La propriété associative des nombres rationnels affirme que, quelle que soit la façon dont les nombres sont groupés, le résultat reste le même lorsque trois nombres rationnels quelconques sont additionnés ou multipliés. Cependant, si l’ordre des nombres est modifié dans la soustraction et la division, le résultat sera différent.
- Avec l’addition: (1/3 + 1/4) + 1/2 est identique à 1/4 + (1/3 + 1/2). Les deux sont égaux à 13/12. Donc (a + b) + c = a + (b + c).
- Avec la soustraction: (1/3 – 1/4) – 1/2 n’est pas la même chose que 1/4 – (1/3 – 1/2). Le premier est égal à 1/24, le second est égal à 1/12. Ainsi (a – b) – c n’est pas égal à a – (b – c).
- Avec la multiplication: (1/3 x 1/4) x 1/2 est égal à 1/4 x (1/3 x 1/2). Les deux présentent la réponse de 1/24. Donc (a x b) x c = a x (b x c).
- Avec la division: (1/3 ÷ 1/4) ÷ 1/2 n’est pas égale à 1/4 ÷ (1/3 ÷ 1/2). Le premier est égal à 8/3, le second est égal à 2/3. Ainsi (a ÷ b) ÷ c n’est pas égal à a ÷ (b ÷ c).
Propriété distributive
Toute équation contenant trois nombres rationnels A, B et C, donnée sous la forme A (B + C), est résolue sous la forme A (B + C) = AB + AC ou A (B – C) = AB – AC, conformément à la propriété distributive des nombres rationnels. Cela signifie que l’opérande A est partagée par les deux autres opérandes, B et C.
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