Une équation est une phrase mathématique qui affirme que deux choses sont égales. Presque tous les chapitres d’algèbre, de physique et de chimie reposent sur elle.
Ce guide définit ce qu’est une équation, nomme chacune de ses parties, présente les principaux types d’équations et renvoie, pour chacun, vers un guide plus approfondi.
Qu’est-ce qu’une équation en mathématiques? Une égalité entre deux expressions
Une équation mathématique est une égalité qui affirme que deux expressions ont la même valeur. Le signe d’égalité (=) se place entre les deux.
Dans 3x − 5 = 16, l’expression 3x − 5 du membre de gauche doit être égale à 16 dans le membre de droite, ce qui n’arrive que lorsque x = 7.
Certaines égalités ne contiennent que des nombres, comme 4 + 6 = 10 : on parle alors d’une égalité numérique, parfois appelée équation arithmétique. D’autres contiennent des lettres : 2x + 3 = 7 est une équation algébrique, le genre d’équation qu’on rencontre en classe de mathématiques dès la 1re secondaire.
Le signe d’égalité, les deux membres et une égalité vraie
Le signe d’égalité sépare chaque équation en deux membres : le membre de gauche et le membre de droite. L’équation affirme une relation d’égalité : les deux membres ont la même valeur.
Cette affirmation peut être vraie ou fausse. 2 + 2 = 4 est une égalité vraie, alors que 2 + 2 = 5 est une égalité fausse. Avec une variable, l’équation devient conditionnelle : x + 1 = 4 n’est vraie que lorsque x = 3.
Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs de la variable, comme 2(x + 1) = 2x + 2. Une équation peut aussi n’avoir aucune solution : x + 1 = x + 2 ne sera jamais en équilibre.
Équation ou expression : un seul symbole de différence
La différence entre une équation et une expression tient à un seul symbole. Une expression algébrique, comme 2x + 3, est un bout de phrase : elle a une valeur, mais n’affirme rien. Un exemple d’équation, 2x + 3 = 7, est une phrase complète que l’on peut vérifier.
| Expression | Équation | |
| Exemple | 2x + 3 | 2x + 3 = 7 |
| Signe d’égalité | Non | Oui |
| Ce qu’on en fait | Simplifier ou évaluer | Résoudre |
| Se lit comme | Un bout de phrase | Une phrase complète |
L’inéquation en est une proche parente. Elle compare deux expressions à l’aide de « plus grand que » ou de « plus petit que » au lieu d’un signe d’égalité, et elle admet donc généralement tout un ensemble de solutions, appelé ensemble-solution.
Les parties d’une équation : variables, constantes, coefficients et termes
Prenons 3x + 5 = 14 et identifions chaque élément. Les parties d’une équation portent toutes un nom :
- Termes : les éléments reliés par + ou −, ici 3x, 5 et 14
- Variables : les lettres qui remplacent des nombres, ici x
- Coefficients : les nombres qui multiplient une variable, ici 3
- Constantes : les nombres seuls, ici 5 et 14
- Opérateurs : les symboles +, −, × et ÷
- Le signe d’égalité, avec le membre de gauche et le membre de droite de part et d’autre
La variable : une lettre pour une valeur inconnue
Une variable est une lettre qui tient la place d’une valeur inconnue, d’où son autre nom : l’inconnue. N’importe quelle lettre convient, mais x est le choix classique, une habitude qui remonte à René Descartes, qui utilisait x, y et z pour désigner les inconnues dès 1637.
En sciences, une variable peut aussi décrire une grandeur qui change. Une formule de physique comme d = v × t relie la distance, la vitesse et le temps : chaque lettre est une variable, et la variable indépendante est celle que l’on choisit.
Termes constants, coefficients, opérateurs et exposants
Une constante est un nombre fixe, comme le 5 dans 3x + 5 = 14. Un coefficient est le nombre collé à une variable : dans 3x, le coefficient est 3. Quand aucun nombre n’apparaît, comme dans x, le coefficient est 1.
Un exposant est le petit nombre placé en haut à droite qui indique une multiplication répétée : x² signifie x × x. Le plus grand exposant d’une équation en détermine le degré, et c’est selon le degré qu’on classe les principaux types d’équations.
Une formule est une équation qui relie plusieurs variables, comme A = L × l pour l’aire d’un rectangle.
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Les types d’équations, et où apprendre à résoudre chacun
Les types d’équations sont généralement classés selon leur degré, c’est-à-dire la plus grande puissance de la variable. Chaque type a sa propre méthode de résolution : cette section en donne une brève description et renvoie vers le bon guide.
Degré 1 : l’équation linéaire et l’équation simple
Une équation linéaire ne contient la variable qu’à la puissance 1, comme 2x + 3 = 7, et elle a une seule solution (x = 2). Sa représentation graphique est une droite, d’où son nom. Les mathématiciens l’appellent aussi équation du premier degré.
Une équation simple est le type d’équation linéaire le plus facile : elle se résout en une ou deux étapes. Pour voir la démarche, lisez notre guide sur comment résoudre des équations simples.
Deux équations linéaires résolues ensemble forment un système d’équations : x + y = 10 et x − y = 2 ont pour solution commune x = 6 et y = 4.
Degré 2 : l’équation quadratique, ou équation du second degré
Une équation quadratique contient une variable au carré, comme x² − 5x + 6 = 0, et elle peut avoir deux solutions (ici x = 2 et x = 3). Sa représentation graphique est une courbe appelée parabole.
Les équations du second degré demandent leurs propres méthodes : la factorisation, la complétion du carré et une formule qui leur est consacrée. Notre guide sur l’équation du second degré présente les trois.
Équations polynomiales, exponentielles et autres équations algébriques
Au-delà du degré 2, une équation cubique comme x³ = 27 est de degré 3 (x = 3). Les équations linéaires, quadratiques et cubiques appartiennent toutes à une même famille, l’équation polynomiale, formée de termes dont les exposants sont des nombres entiers.
D’autres équations algébriques placent la variable ailleurs :
- Une équation exponentielle a la variable dans l’exposant : 2ˣ = 8, donc x = 3
- Une équation à racine carrée (ou à radical) a la variable sous un radical : √x = 4, donc x = 16
- Une équation rationnelle a la variable au dénominateur : 6/x = 2, donc x = 3
- Une équation logarithmique a la variable dans un logarithme, l’opération inverse de l’exponentielle
Comment résoudre une équation? Trouver les solutions qui la rendent vraie
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de la variable qui la rendent vraie. Ces valeurs sont les solutions, parfois appelées racines. Une équation linéaire a une solution, une équation du second degré en a jusqu’à deux, et une identité en a une infinité.
La méthode générale reste la même à tous les niveaux, et notre article sur le processus de résolution en algèbre la présente en détail.
La balance, les opérations inverses et la vérification de la solution
Imaginez une balance. Une équation est en équilibre, et chaque étape doit préserver cet équilibre : ce que vous faites à un membre, vous le faites aux deux membres.
La résolution utilise les opérations inverses pour défaire ce qui a été appliqué à la variable. Pour 3x + 5 = 14 :
- Soustraire 5 des deux membres : 3x = 9
- Diviser les deux membres par 3 : x = 3
- Vérifier : 3(3) + 5 = 14, la solution est donc correcte
Les élèves s’exercent jusqu’à ce que la démarche devienne automatique, d’abord avec des équations à une étape, puis avec des équations du premier degré qui comportent des parenthèses et des fractions.
La dernière étape n’est jamais facultative : la validation permet de repérer la plupart des erreurs avant que l’enseignant ne le fasse.
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Des exemples d’équations tirés des sciences et de l’histoire
Les exemples d’équations sont partout dans la vie courante. Une recette adaptée pour 6 personnes, un forfait cellulaire de 30 $ plus 5 $ par gigaoctet, un budget de billets d’autobus : chacun devient une équation mathématique dès qu’un nombre est inconnu. Écrire cette équation, c’est-à-dire faire la mise en équation, est souvent plus difficile que la résoudre.
Du théorème de Pythagore à Einstein, et qui a inventé le signe d’égalité
Certaines équations ont changé l’histoire. Le théorème de Pythagore, a² + b² = c², relie les trois côtés d’un triangle rectangle et guide encore aujourd’hui les constructeurs comme les moteurs de jeux vidéo. L’équation E = mc² d’Einstein affirme que la masse et l’énergie sont deux formes d’une même chose.
Le signe d’égalité lui-même est plus récent qu’on ne le croit. Le mathématicien gallois Robert Recorde a introduit le « = » en 1557, en choisissant deux traits parallèles parce que rien ne pouvait être plus égal. Des siècles plus tôt, vers 820, le savant de Bagdad al-Khwarizmi a écrit le livre sur l’équilibrage des équations dont le titre nous a donné le mot algèbre.
Les équations en mathématiques au secondaire
Les équations prennent une place centrale dans le programme de mathématiques en 1re et en 2e secondaire, quand les élèves commencent à écrire et à résoudre des équations du premier degré. Ces années déterminent l’aisance d’un élève en algèbre par la suite, et les équations reviennent à chaque évaluation importante : une bonne préparation aux examens porte donc ses fruits. Un tuteur en mathématiques peut consolider une base fragile avant qu’elle ne paraisse dans le bulletin.
Quand un tuteur en algèbre fait la différence en 1re et en 2e secondaire
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Les notes sont la preuve; la confiance est ce qui change en premier. Un élève capable d’expliquer ce qu’est une équation cesse généralement d’avoir peur de l’algèbre.
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