La trigonométrie est l’une de ces matières mathématiques qui semblent intimidantes avant qu’on comprenne vraiment de quoi il s’agit. Pourtant, elle repose sur une idée étonnamment simple : dans un triangle, quel est le lien entre les longueurs des côtés et les mesures des angles ? Répondez à cette question et vous pourrez calculer des distances impossibles à mesurer directement, naviguer sur les océans, concevoir des bâtiments et créer des moteurs physiques pour jeux vidéo.
Ce guide couvre tout ce dont un élève a besoin comme introduction à la trigonométrie :
- la définition
- l’histoire
- les trois fonctions principales
- SOH-CAH-TOA
- les six fonctions trigonométriques
- un tableau de référence des valeurs aux angles courants
- les formules essentielles
- les applications concrètes
Si vous vous êtes déjà demandé comment faire de la trigonométrie et pourquoi ça compte, lisez la suite.
Qu’est-ce que la trigonométrie ?
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les côtés et les angles des triangles rectangles. Cette branche des maths vous aide à comprendre comment les côtés et les angles sont liés dans tout triangle rectangle.
Le mot lui-même vient de deux racines grecques : trigonon, qui signifie triangle, et metron, qui signifie mesure. La trigonométrie signifie donc littéralement « mesure des triangles ».
En termes simples, la trigonométrie (ou « trigo ») est la branche des mathématiques qui vous permet de calculer les côtés ou les angles inconnus d’un triangle quand vous en connaissez suffisamment. Si vous connaissez un angle et une longueur de côté d’un triangle rectangle, vous pouvez déduire toutes les autres mesures sans sortir une règle.
Bref historique de la trigonométrie
L’histoire de la trigonométrie remonte aux civilisations anciennes. Les Grecs de l’Antiquité ont été parmi les premiers à étudier les fonctions trigonométriques de manière formelle, et des mathématiciens grecs tels qu’Hipparque et Ptolémée ont produit des travaux fondateurs qui influencent encore l’enseignement de cette matière aujourd’hui.
Hipparque, qui travaillait vers 150 av. J.-C., a développé les premières tables trigonométriques pour résoudre des problèmes d’astronomie, calculant les distances et les positions des corps célestes avec une précision remarquable. Ptolémée a étendu ces travaux dans son célèbre Almageste, en appliquant la trigonométrie sphérique pour modéliser les mouvements des planètes et des étoiles.
Les savants islamiques ont apporté des contributions tout aussi importantes pendant l’Âge d’or islamique, en affinant les fonctions trigonométriques que nous utilisons aujourd’hui et en faisant progresser l’astronomie mathématique bien au-delà des bases grecques. C’est à cette époque que les rapports sinus, cosinus et tangente ont été formalisés en outils qui sont aujourd’hui au cœur de la trigonométrie enseignée à l’école.
Le triangle rectangle : côtés et angles
Avant de comprendre les fonctions trigonométriques, vous devez bien cerner le triangle rectangle. Tout triangle rectangle possède trois côtés et trois angles. L’un des angles est toujours exactement 90 degrés, c’est l’angle droit. Les deux autres angles sont aigus, chacun inférieur à 90 degrés.
Les trois côtés sont nommés par rapport à l’un des angles aigus, que l’on appelle thêta (θ) :
- Hypoténuse : Le côté le plus long du triangle rectangle, toujours opposé à l’angle droit. Ce côté ne change jamais, quel que soit l’angle aigu choisi comme θ.
- Côté opposé : Le côté directement en face de l’angle θ, sans le toucher. Aussi appelé la perpendiculaire dans certains manuels.
- Côté adjacent : Le côté à côté de l’angle θ qui n’est pas l’hypoténuse.
Les trois fonctions trigonométriques principales sont chacune un rapport entre deux de ces côtés. Savoir quel côté est opposé, quel côté est adjacent et lequel est l’hypoténuse est la première compétence à maîtriser.
Les trois fonctions trigonométriques principales
La trigonométrie est fondée sur trois rapports trigonométriques fondamentaux qui comparent des paires de côtés dans un triangle rectangle. Chaque rapport est défini par rapport à l’angle θ et possède un nom, une abréviation et une formule. Chacun est abrégé par un code de deux ou trois lettres (sin, cos et tan) que vous retrouverez dans chaque problème de trigo.
Sinus (sin)
La fonction sinus (abrégée sin) compare la longueur du côté opposé à l’hypoténuse.
sin(θ) = opposé / hypoténuse
Si vous connaissez un angle et la longueur de l’hypoténuse, vous pouvez utiliser le sinus pour trouver la longueur du côté opposé. Pour un angle de 30° dans un triangle dont l’hypoténuse est de 10 cm, sin(30°) = 0,5, donc le côté opposé mesure 5 cm.
Cosinus (cos)
La fonction cosinus (abrégée cos) compare la longueur du côté adjacent à l’hypoténuse.
cos(θ) = adjacent / hypoténuse
Si vous connaissez un angle et l’hypoténuse, le cosinus vous donne le côté adjacent. Pour le même angle de 30° et une hypoténuse de 10 cm, cos(30°) ≈ 0,866, donc le côté adjacent mesure environ 8,66 cm.
Tangente (tan)
La fonction tangente (abrégée tan) compare la longueur du côté opposé au côté adjacent.
tan(θ) = opposé / adjacent
Si vous connaissez un angle et un côté autre que l’hypoténuse, la tangente relie directement le côté opposé et le côté adjacent. Elle est particulièrement utile pour les problèmes de hauteur et de distance, par exemple pour déterminer la hauteur d’un bâtiment quand on connaît la distance à laquelle on se trouve et l’angle d’élévation.
SOH-CAH-TOA : comment retenir les rapports trigonométriques
SOH-CAH-TOA est le moyen mnémotechnique que tous les élèves apprennent, car les trois rapports sont difficiles à mémoriser sans aide. C’est l’outil standard pour résoudre les triangles rectangles, aussi bien pour trouver les côtés manquants que les angles manquants. Chaque groupe de trois lettres encode une fonction :
- SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
- CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
- TOA : Tangente = Opposé / Adjacent
Les lettres S, C et T désignent le nom de la fonction. O, A et H désignent le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. En lisant chaque triplet, vous savez exactement quels deux côtés diviser.
Exemple résolu avec SOH-CAH-TOA
Un triangle rectangle a un angle θ = 40° et une hypoténuse de 12 cm. Trouvez la longueur du côté opposé.
- Vous avez l’hypoténuse et avez besoin du côté opposé. C’est le Sinus (SOH).
- Posez l’équation : sin(40°) = opposé / 12
- sin(40°) ≈ 0,643
- Opposé = 0,643 × 12 ≈ 7,72 cm
Pour trouver un angle manquant au lieu d’un côté manquant, utilisez les fonctions trigonométriques inverses : arcsin, arccos ou arctan. Si sin(θ) = 0,5, alors θ = arcsin(0,5) = 30°.
Si SOH-CAH-TOA vous semble difficile à mémoriser au début, c’est tout à fait normal. Travailler quelques exercices étape par étape avec un tuteur privé peut consolider le processus plus vite que de relire les explications seul.
Demandez un tuteur en maths en ligne
Les six fonctions trigonométriques
Les trois fonctions principales (sin, cos, tan) ont chacune une fonction réciproque. Ensemble, les six fonctions trigonométriques décrivent tous les rapports entre les côtés d’un triangle rectangle.
| Fonction | Abréviation | Rapport |
|---|---|---|
| Sinus | sin | opposé / hypoténuse |
| Cosinus | cos | adjacent / hypoténuse |
| Tangente | tan | opposé / adjacent |
| Cosécante | cosec (csc) | hypoténuse / opposé |
| Sécante | sec | hypoténuse / adjacent |
| Cotangente | cot | adjacent / opposé |
Les fonctions réciproques sont simples : la cosécante est 1/sin, la sécante est 1/cos et la cotangente est 1/tan.
Tableau de trigonométrie : valeurs des angles courants
Certains angles apparaissent si fréquemment dans les problèmes de trigonométrie que leurs valeurs exactes méritent d’être mémorisées. Les angles les plus courants en degrés sont 0°, 30°, 45°, 60° et 90°. Voici les valeurs exactes de sin, cos et tan pour chacun :
| Angle | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | indéfini |
Quelques observations importantes :
- À 45°, sin et cos sont égaux (tous deux valent 1/√2 ≈ 0,707).
- tan(90°) est indéfini, car cela reviendrait à diviser par zéro (le côté adjacent est nul à 90°).
- Les valeurs de la colonne sin, de 0° à 90°, suivent le schéma 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 — un patron facile à retenir.
Les angles peuvent également être mesurés en radians plutôt qu’en degrés. Les radians sont l’unité standard en calcul différentiel et intégral : 360° correspond à 2π radians, et 90° à π/2 radians.
Au secondaire, la plupart des problèmes utilisent les degrés, mais connaître les radians vous prépare à la suite.
Formules et identités trigonométriques essentielles
Les formules trigonométriques sont des outils indispensables en mathématiques. Les formules les plus importantes pour les élèves du secondaire sont les trois formules de rapports déjà abordées (sin, cos, tan), l’identité de Pythagore et les lois des sinus et des cosinus pour les triangles non rectangles.
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : a² + b² = c². Cette relation fondamentale est à la base de toute la trigonométrie.
Notez que le calcul de racines carrées est une compétence essentielle ici, car trouver la longueur d’un côté à partir du théorème de Pythagore nécessite presque toujours d’extraire une racine carrée.
L’identité de Pythagore
L’identité de Pythagore exprime la même relation en termes de fonctions trigonométriques :
sin²θ + cos²θ = 1
Cette identité est vraie pour tout angle θ et est l’une des identités trigonométriques les plus utilisées. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique.
La loi des sinus et la loi des cosinus
La loi des sinus et la loi des cosinus étendent la trigonométrie au-delà des triangles rectangles :
- Loi des sinus : a / sin A = b / sin B = c / sin C
- Loi des cosinus : c² = a² + b² – 2ab cos C
Ces formules deviennent importantes pour résoudre des triangles qui ne comportent pas d’angle droit.
À quoi sert la trigonométrie ?
La trigonométrie permet aux élèves de résoudre des problèmes impliquant des angles et des distances qu’il serait impossible de mesurer directement : calculs de hauteur et de distance, trajectoires orbitales, forces structurelles et fréquences d’ondes.
Voici les domaines où elle intervient de façon concrète.
Ingénierie et architecture
L’ingénierie et l’architecture font appel à la trigonométrie en permanence. Par exemple :
- Les ingénieurs en ponts utilisent le sinus et le cosinus pour calculer les forces dans les structures triangulées, afin que le poids soit réparti uniformément.
- Les architectes appliquent les rapports de tangente pour déterminer les angles de toiture qui permettent une bonne évacuation des eaux.
Le problème classique de l’angle d’élévation (quelle est la hauteur d’un bâtiment si on se trouve à 30 mètres de distance et qu’on le regarde sous un angle de 60°) est de la trigonométrie appliquée à la construction, chaque jour.
Astronomie et navigation
Hipparque a utilisé la trigonométrie pour estimer la distance à la Lune il y a plus de deux mille ans, et les mêmes principes alimentent encore l’astronomie moderne. Aujourd’hui, la trigonométrie sphérique aide les astronomes à suivre les orbites des planètes et des satellites.
Les systèmes GPS et de navigation par satellite utilisent en permanence des calculs trigonométriques pour déterminer des positions exactes sur Terre. En d’autres termes, chaque fois que vous utilisez une application de navigation, la trigonométrie travaille en coulisses. Les géomètres utilisent également la trigonométrie pour mesurer les limites des terrains, cartographier les reliefs et installer des infrastructures avec précision sur de grandes distances.
Physique, musique et technologie
- En physique, la trigonométrie modélise le mouvement des projectiles, le comportement des ondes (les ondes lumineuses et sonores sont décrites à l’aide des fonctions sinus et cosinus) et l’optique.
- En musique, les ondes sonores se propagent sous forme de fonctions sinusoïdales, et les ingénieurs du son utilisent les fonctions trigonométriques pour analyser et manipuler la hauteur et la fréquence.
- Dans la conception de jeux vidéo, les fonctions trigonométriques contrôlent les déplacements, les rotations et les interactions des personnages dans les environnements 2D et 3D.
Pour les élèves qui envisagent une carrière dans les sciences ou dans tout domaine STIM, une solide maîtrise de la trigonométrie est indispensable.
Vous avez du mal avec la trigonométrie ? Tutorax est là pour vous aider
La trigonométrie introduit un niveau d’abstraction qui fait trébucher de nombreux élèves, même ceux qui s’en sortaient bien en algèbre et en géométrie. Si vous ou votre enfant avez des difficultés avec la trigonométrie ou souhaitez renforcer votre confiance dans l’application de ces fonctions en situation d’examen, un soutien personnalisé fait toute la différence.
Chez Tutorax, 95 % de nos élèves constatent une amélioration mesurable de leurs résultats scolaires. Nous avons aidé plus de 20 000 élèves partout au Canada à améliorer leurs compétences en mathématiques et à réussir la trigonométrie et les autres cours de maths du secondaire, y compris un soutien dédié pour les élèves du secondaire à tous les niveaux.
Voici ce que représente concrètement travailler avec un tuteur Tutorax :
- Des séances individuelles ciblant les lacunes précises : SOH-CAH-TOA, le tableau trigonométrique, les identités ou l’application des fonctions à des problèmes énoncés
- Disponible en tutorat à domicile ou en tutorat en ligne, 7 jours sur 7, avec un horaire flexible
- Sans engagement : payez à la séance, sans nombre minimum d’heures
- Placement d’un tuteur garanti en moins de 7 jours pour le tutorat à domicile, ou dans les 24 à 48 heures en ligne
Que vous cherchiez du tutorat en mathématiques à Montréal ou n’importe où ailleurs au Canada, trouvez dès aujourd’hui un tuteur en maths près de chez vous.
Foire aux questions sur la trigonométrie
Qu’est-ce que la trigonométrie en termes simples ?
La trigonométrie est une branche des mathématiques qui utilise les relations entre les côtés et les angles des triangles rectangles pour calculer des mesures inconnues. Grâce au sinus, au cosinus et à la tangente, vous pouvez trouver tout côté ou angle manquant dans un triangle rectangle, à condition de connaître suffisamment d’autres éléments.
Qu’est-ce que SOH-CAH-TOA ?
SOH-CAH-TOA est un moyen mnémotechnique pour retenir les trois rapports trigonométriques principaux.
- SOH signifie Sinus = Opposé sur Hypoténuse
- CAH signifie Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse
- TOA signifie Tangente = Opposé sur Adjacent
C’est le moyen mémotechnique le plus utilisé dans les cours de trigonométrie au secondaire et il vaut la peine d’être mémorisé avant votre premier test de trigo.
La trigonométrie est-elle difficile à apprendre ?
La trigonométrie est un sujet qui déroute de nombreux élèves au début, surtout le saut entre les formules étiquetées et leur application à des problèmes réels. Les élèves qui développent une bonne maîtrise de SOH-CAH-TOA et s’entraînent avec des exemples concrets, idéalement avec un tuteur en trigonométrie pour des explications pas à pas, trouvent généralement la matière gérable rapidement.
À quoi sert la trigonométrie dans la vie de tous les jours ?
La trigonométrie a des applications concrètes en ingénierie, en construction, en astronomie, dans les systèmes GPS et de navigation par satellite, en physique, en production musicale et dans la conception de jeux vidéo. C’est aussi le socle mathématique du calcul différentiel et intégral, ce qui signifie qu’elle apparaît directement ou indirectement dans pratiquement toutes les carrières scientifiques et techniques.