L’équation du second degré, aussi appelée équation quadratique, est le premier grand pas au-delà de l’algèbre des droites. Elle contient une inconnue au carré, elle peut avoir deux solutions, et sa représentation graphique se courbe. Les élèves la rencontrent en mathématiques de 4e secondaire, puis la retrouvent en physique, en économie et dans tous les cours de calcul différentiel et intégral qui suivent.
Ce guide répond à la question « qu’est-ce qu’une équation du second degré » en partant de la base. Il présente la forme générale, le discriminant, trois méthodes algébriques pour résoudre une équation du second degré et des exemples résolus que vous pouvez vérifier vous-même.
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Définition de l’équation quadratique : la forme générale ax² + bx + c = 0
Une équation quadratique est une équation polynomiale dans laquelle la plus grande puissance de la variable est 2. Si vous avez besoin d’un rappel sur ce qu’est une équation en général, commencez par là; cette page se concentre sur le cas du degré 2.
Toute équation quadratique peut être réécrite sous la forme générale de l’équation du second degré :
ax² + bx + c = 0
Les mathématiciens l’appellent aussi équation de degré 2 ou équation du second degré. Le mot « quadratique » vient du latin quadratus, qui signifie carré, parce que l’inconnue est élevée au carré.
À l’intérieur de l’expression quadratique : coefficients, terme constant et variable
Le membre de gauche de la forme générale, ax² + bx + c, est une expression quadratique (aussi appelée polynôme du second degré). Lorsqu’on pose cette expression égale à zéro, elle devient une équation que l’on peut résoudre.
Chaque partie porte un nom :
- ax² est le terme quadratique, et a est son coefficient
- bx est le terme linéaire, et b est son coefficient
- c est le terme constant, un nombre qui n’est rattaché à aucune variable
- x est la variable, la valeur inconnue que l’on cherche
Les coefficients a, b et c sont des nombres réels. Ils peuvent être positifs, négatifs ou fractionnaires; seul a fait l’objet d’une restriction.
Pourquoi a ≠ 0 : une équation du second degré, pas une équation linéaire
Le coefficient a ne peut jamais être égal à zéro. Si a = 0, le terme en x² disparaît et 0x² + bx + c = 0 se réduit à bx + c = 0, c’est-à-dire une équation linéaire. Les équations linéaires ont une seule solution, et on les résout à l’aide des opérations inverses présentées dans notre guide pour résoudre des équations simples.
Les termes b et c, en revanche, peuvent être nuls. 3x² − 12 = 0 n’a pas de terme linéaire et x² − 7x = 0 n’a pas de terme constant, mais les deux restent des équations du second degré, puisque le terme en x² est toujours présent.
Une équation du second degré peut aussi s’écrire sous trois formes courantes :
| Forme | Équation | Ce qu’elle montre |
| Forme générale | ax² + bx + c = 0 | Les coefficients a, b et c |
| Forme factorisée | a(x − x₁)(x − x₂) = 0 | Les racines x₁ et x₂ |
| Forme canonique | a(x − h)² + k = 0 | Le sommet (h, k) de la parabole |
Les racines d’une équation du second degré : ce que révèle le discriminant
Les racines d’une équation du second degré sont les valeurs de x qui la rendent vraie. On les appelle aussi solutions ou zéros. Une équation du second degré a au plus deux racines, et un seul nombre permet de prévoir leur nature avant même de commencer à résoudre : le discriminant.
Le discriminant est Δ = b² − 4ac, l’expression placée sous la racine carrée dans la formule quadratique. Son signe détermine la nature des racines.
Deux racines réelles, une racine double ou des racines complexes
Le discriminant classe chaque équation du second degré dans l’un de trois cas :
- Discriminant positif : deux racines réelles distinctes. Pour x² − 5x + 6 = 0, Δ = 25 − 24 = 1, il y a donc deux solutions réelles (x = 2 et x = 3).
- Discriminant nul : une racine double. Pour x² − 4x + 4 = 0, Δ = 16 − 16 = 0, ce qui donne la racine double x = 2.
- Discriminant négatif : deux racines complexes. Pour x² + 2x + 5 = 0, Δ = 4 − 20 = −16. Aucun nombre réel élevé au carré ne donne −16; les solutions complexes, qui s’écrivent avec les nombres complexes, sont donc x = −1 ± 2i, où i est le nombre imaginaire √−1.
Lorsque les coefficients sont rationnels, un discriminant positif qui est un carré parfait donne des racines rationnelles; toute autre valeur positive donne des racines irrationnelles. Les racines complexes d’une équation à coefficients réels vont toujours par paires conjuguées, comme −1 + 2i et −1 − 2i. Deux équations du second degré différentes peuvent aussi avoir des racines communes : x² − 5x + 6 et x² − 4x + 4 admettent toutes deux x = 2.
Somme et produit des racines avec les relations de Viète
Les relations de Viète relient directement les racines aux coefficients. Pour ax² + bx + c = 0, de racines x₁ et x₂, la somme des racines est x₁ + x₂ = −b/a et leur produit est x₁ × x₂ = c/a.
Reprenons x² − 5x + 6 = 0. La somme vaut 5 et le produit vaut 6; en effet, 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6. Cette relation entre la somme et le produit des racines permet de vérifier rapidement une réponse, et même de construire une équation du second degré à partir de deux racines connues.
Le graphique de la fonction quadratique : là où la parabole coupe l’axe des x
La fonction quadratique y = ax² + bx + c trace une courbe en U appelée parabole. Résoudre l’équation ax² + bx + c = 0, c’est chercher où ce graphique rencontre l’axe des x : les racines sont donc les abscisses à l’origine.
Le discriminant se lit aussi sur le graphique. Deux abscisses à l’origine signifient un discriminant positif. Une parabole qui touche l’axe seulement en son sommet, sur l’axe de symétrie, signifie que Δ = 0. Une parabole qui n’atteint jamais l’axe signifie un discriminant négatif. Le signe de a détermine l’ouverture : si a est positif, la parabole est ouverte vers le haut et admet un minimum; si a est négatif, elle est ouverte vers le bas et admet un maximum.
La représentation graphique est un bon moyen d’estimer les solutions, mais lisez les abscisses à l’origine avec soin : un croquis donne rarement des réponses exactes.
Comment résoudre une équation du second degré : 3 méthodes algébriques
Il existe trois méthodes algébriques pour résoudre une équation du second degré. La factorisation est la plus rapide quand elle fonctionne, la complétion du carré fonctionne à tout coup, et la formule quadratique n’est rien d’autre que la complétion du carré faite une fois pour toutes. Les trois méthodes donnent les mêmes racines.
La factorisation et la règle du produit nul
La factorisation réécrit l’expression quadratique sous la forme d’un produit de deux binômes. Une fois l’équation écrite sous la forme (quelque chose) × (quelque chose) = 0, la règle du produit nul indique qu’au moins un des facteurs doit être égal à zéro.
Exemple : x² − 5x + 6 = 0. Cherchez deux nombres dont le produit est 6 et la somme −5 : −2 et −3. Ainsi, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, et les racines sont x = 2 et x = 3.
La factorisation exige de repérer rapidement les facteurs. C’est la méthode à essayer en premier, mais beaucoup d’équations, comme x² + x − 1 = 0, n’ont pas de facteurs simples.
La complétion du carré, étape par étape
La complétion du carré transforme le membre de gauche en carré parfait, puis prend la racine carrée des deux membres. Cette méthode remonte à al-Khwarizmi, le savant de Bagdad du IXe siècle dont le livre a donné son nom à l’algèbre.
Exemple : x² + 6x + 5 = 0.
- Déplacez la constante : x² + 6x = −5
- Additionnez (6 ÷ 2)² = 9 aux deux membres : x² + 6x + 9 = 4
- Écrivez le carré parfait : (x + 3)² = 4
- Prenez la racine carrée : x + 3 = ±2
- Résolvez : x = −1 ou x = −5
Remplacez ensuite les deux valeurs dans l’équation de départ pour les vérifier : (−1)² + 6(−1) + 5 = 0 et (−5)² + 6(−5) + 5 = 0.
Utiliser la formule quadratique
La formule quadratique résout n’importe quelle équation du second degré écrite sous sa forme générale :
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Le signe ± (qui se lit « plus ou moins ») produit les deux racines d’un seul coup. Le mathématicien indien Brahmagupta a décrit une règle de ce type en 628, et la formule moderne découle de la complétion du carré appliquée à ax² + bx + c = 0.
Deux habitudes évitent la plupart des erreurs : réécrire d’abord l’équation sous sa forme générale, et calculer le discriminant avant toute autre chose. Si Δ est négatif, vous savez déjà qu’il n’y a aucune solution réelle.
Pour le calcul sous la racine carrée, consultez notre guide pour calculer une racine carrée.
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Exemples d’équations du second degré : problèmes concrets et exemple résolu
Les équations du second degré modélisent tout ce qui monte puis redescend, ou toute aire construite à partir de deux longueurs liées. Ces exemples montrent comment un problème écrit se transforme en ax² + bx + c = 0.
Un problème d’aire : la longueur d’un jardin dépasse sa largeur de 3 m, et son aire est de 40 m². Si la largeur vaut x, x(x + 3) = 40 devient x² + 3x − 40 = 0, donc (x + 8)(x − 5) = 0. Une largeur négative est impossible : le jardin mesure donc 5 m sur 8 m.
Un problème de profit : si le profit d’une entreprise est donné par P = −2x² + 40x − 150, les seuils de rentabilité sont les solutions de −2x² + 40x − 150 = 0, soit x² − 20x + 75 = 0. Les racines, x = 5 et x = 15, délimitent l’intervalle où le profit est positif.
Les élèves qui ont pris du retard sur ces problèmes écrits pendant l’année peuvent se rattraper grâce aux cours d’été de mathématiques.
Le mouvement d’un projectile : trouver quand une balle retombe
Le mouvement d’un projectile est l’application classique en physique. Une balle lancée verticalement depuis le sol à 9,8 m/s se trouve à une hauteur de h = −4,9t² + 9,8t mètres après t secondes.
La balle touche le sol quand sa hauteur revient à zéro : −4,9t² + 9,8t = 0. La factorisation donne t(−4,9t + 9,8) = 0, donc t = 0 (le lancer) ou t = 2 secondes (le retour au sol). Le sommet, à t = 1, donne la hauteur maximale : 4,9 m.
La même équation, en négligeant la résistance de l’air, décrit un tir au basketball ou un botté au soccer.
Un tuteur en physique peut montrer à votre adolescent où ces applications concrètes apparaissent dans ses examens.
Un exemple résolu en mathématiques de 4e secondaire
La 4e secondaire est l’année où les fonctions du second degré deviennent un élément central du programme de mathématiques. Voici un exemple résolu à ce niveau : résoudre 2x² − 4x − 6 = 0.
- Identifiez a = 2, b = −4 et c = −6
- Calculez le discriminant : Δ = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64
- Comme Δ est un carré parfait positif, attendez-vous à deux racines rationnelles
- Appliquez la formule : x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4
- Résolvez : x = 3 ou x = −1, puis vérifiez les deux valeurs dans l’équation de départ
Les erreurs fréquentes à ce niveau sont prévisibles : oublier le signe négatif de b, ne diviser qu’une partie du numérateur par 2a et sauter la vérification. S’exercer à ces étapes avant un examen est au cœur d’une bonne préparation aux examens.
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Chaque séance suit le programme scolaire de votre enfant. Appelez au 1-800-513-5358 ou demandez un tuteur en ligne.
La plupart des élèves qui ont de la difficulté avec les équations du second degré ont une lacune dans une seule notion antérieure, souvent la factorisation ou les nombres négatifs, et non dans tout le chapitre.
Besoin d’aide pour résoudre des équations du second degré? Travaillez avec un tuteur en mathématiques
Résoudre des équations du second degré fait appel en même temps aux fractions, aux nombres négatifs, à la factorisation et aux racines carrées. Une lacune dans l’une ou l’autre de ces notions apparaît d’abord ici. Un tuteur en mathématiques repère cette lacune et la comble avant le prochain chapitre.
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Les tuteurs apprennent aux élèves à vérifier chaque solution, pour qu’une bonne réponse devienne une habitude plutôt qu’un coup de chance. Les notes sont la preuve; la confiance est ce qui change en premier.
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