Une fraction est une valeur en mathématiques qui définit une partie d’un tout. En d’autres termes, une fraction est un rapport entre deux nombres. La décimale, quant à elle, est un nombre dans lequel le nombre entier et les parties fractionnaires sont séparés par un point décimal. Il existe différentes variétés de décimales, notamment les décimales terminales et non terminales, ainsi que les décimales répétitives et non répétitives. Si un nombre à un nombre fixe de chiffres (par exemple 0,532), il s’agit d’une décimale terminale, car elle a un point final.
La conversion de la valeur décimale en valeur fractionnaire est favorisée lors de la résolution de différents problèmes mathématiques, car les valeurs fractionnaires sont plus faciles à simplifier. Dans cet article, nous examinons comment convertir des décimales récurrentes en fractions.
Qu’est-ce qu’une décimale répétitive et terminale ?
Les décimales non terminales se divisent en deux types de décimales : les décimales répétitives et les décimales terminales. Le terme décimales répétitives fait référence aux décimales non finales qui se répètent. Si les chiffres après le point décimal se terminent, le nombre a une expansion décimale terminale.
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Décimale répétitite
Une décimale répétitive à un nombre infini de chiffres, mais tous les chiffres sont connus. Pour que la décimale soit considérée comme répétitive, les chiffres après la virgule ne peuvent pas tous être nuls. Tous les chiffres ne sont pas connus pour les décimaux sans terminaison qui ne se répètent pas. Il y aura toujours un chiffre après la virgule qui devra être déterminé, quel que soit le nombre de chiffres connus.
Ex:
| Décimale non-terminale | 0.3333333… |
| Décimale répétitive | 0.090909090 |
Il convient de noter que 1/3 est à la fois une décimale non terminale et une décimale répétitive. Lorsque l’on tente de discerner les nombres rationnels et irrationnels, il est essentiel de comprendre les variations entre les deux types de décimales. Toutes les décimales qui se terminent par un chiffre sont des nombres rationnels. Une fraction peut être utilisée pour exprimer les décimales terminales et répétitives.
Les nombres irrationnels, dont le plus célèbre est pi (?), sont à la fois non terminaux et non répétitifs. Pi (3.14159…) et la racine carrée de 2 (1.4142135…) en sont deux exemples. Ni l’un ni l’autre ne se terminera ou ne se répétera jamais, quel que soit le nombre de chiffres que l’on calcule.
Décimale terminale
Si les chiffres après la virgule se terminent, le nombre à un développement décimal terminal. Comme les chiffres après la virgule se terminent après un chiffre, la fraction 5/10 a le développement décimal 0,5, qui est un développement décimal terminal. Un développement décimal final ou un développement décimal récurrent non final sont tous deux possibles pour un nombre rationnel.
Que sont exactement les fractions?
Que sont les décimales terminales et récurrentes dans une fraction ?
La terminaison des décimales est assez simple. Pour convertir une décimale en fraction, on écrit le nombre décimal au numérateur et la valeur de place au dénominateur. Par exemple :
0,03 est 3 centièmes
Par conséquent, nous écrivons 0,03 comme 3/100
Mais que se passe-t-il lorsque nous convertissons des décimales répétitives en fractions ?
Décimales répétitives en fractions
C’est là que ça devient un peu plus complexe. Prenons l’exemple de 0,3333333…
Nous appellerons cette décimale x.
x = 0.333333333…
Nous établissons ensuite un autre calcul dans lequel nous multiplions l’équation ci-dessus par 10.
x = 0.33333333…
10x = 3.333333…
Nous soustrayons ensuite la deuxième équation de la première :
10x – x = 9x
3.3333333… – 0.333333… = 3
9x = 3
Vous devez ensuite obtenir x seul en divisant le nombre joint comme tel :
9x/9 = 3/9
X = 3/9
Ceci peut être simplifié en 1/3 qui est un tiers.
Comment écrire les décimales répétitives
Les décimales récurrentes et répétitives n’ont pas de fin. Il est évident que vous ne pouvez pas écrire des pages et des pages de décimales sans fin. Vous avez donc besoin d’une notation pour exprimer la différence entre les décimales terminales, répétitives et récurrentes.
La façon la plus courante d’exprimer une décimale récurrente est d’ajouter un point au-dessus du nombre récurrent :
0.3333333… est donc 0.3̇
Une décimale répétitive est légèrement plus difficile. Comment exprimer 0,191919… ? Si nous devions écrire 0,19̇, cela se traduirait par 0,19999999. On écrit donc 0,1̇9̇ et on insère des points au-dessus des deux chiffres qui se répètent.
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Comment trouver les décimales d’une fraction
On divise le numérateur par le dénominateur pour trouver les décimales d’une fraction.
Par exemple :
2/8
Tout d’abord, nous divisons le numérateur par le dénominateur en utilisant la division longue:
0.25
8)2.00
40
0
Donc, 2/8 en décimal est 0.25
Alors comment cela fonctionne lorsque nous avons une décimale récurrente ou répétitive ?
Regardons 4/9 :
0 .444…
9)4.000
36
40
36
40
Comme vous pouvez le voir, cela continue encore et encore. Vous pouvez donc en conclure que cette décimale est répétitive et placer un point au-dessus du nombre décimal pour montrer qu’elle est récurrente.
Exemple de terminaison et de répétition de décimales
Voici quelques exemples de fractions qui ont des décimales terminales et répétitives :
Convertir 0,191919 en une fraction
x = 0.191919191
Comme la décimale se répète dans les centièmes plutôt que dans les dixièmes, nous devrions utiliser 100x plutôt que 10x.
100x = 19.1919191919
La raison en est que si nous utilisions 10x, alors nous soustrairions
1.91919 – 0.191919 ce qui serait 1.72728. Ceci perturbe l’équation.
Si on soustrait la vraie deuxième équation de la première, on obtient :
100x – x = 99x
19.191919 – 0.191919 = 19
Ainsi, nous obtenons 99x = 19
Nous divisons ensuite chaque côté par 99
99x / 99 = 19 / 99
Donc x = 19/99
Ainsi, 0,191919 en tant que fraction est 19/99.
Convertir 7/12 en décimal
0.5833…
12 ) 7.0000
60
100
96
40
36
40
36
4
Ainsi, 7/12 = 0,58333… ou 0,583̇
Laquelle des fractions ci-dessous donnera lieu à une décimale terminale ?
- 1/7
- 9/60
- 12/45
Solution:
Rappelez-vous que si le dénominateur d’une fraction réduite aux termes les plus bas n’a que des facteurs premiers de 2 et/ou 5, elle se convertira en décimale terminale. Examinons chaque option.
A. 1/7 a déjà été réduit à sa forme la plus simple. 1/7 n’est pas une décimale terminale puisque son dénominateur est un nombre premier autre que 2 ou 5. L’option A doit être éliminée.
B. 9/60 peut être réduit à 3/20. On voit que 9/60 est une décimale terminale puisque tous les éléments premiers du dénominateur réduit sont soit 2, soit 5. En réalité, 0,15 est l’équivalent décimal. Nous pouvons maintenant nous arrêter, car nous avons trouvé une réponse avec une forme décimale terminale. B est la bonne réponse.
Lesquels des nombres suivants sont des nombres irrationnels ?
Q: 1/3
Lorsque vous divisez 1 par 3, vous obtenez la décimale 0,3. La barre implique que le nombre 3 se répète à l’infini. Parce qu’il se répète, 0,3 ou 0,333… est un nombre rationnel. C’est aussi un nombre décimal qui ne se termine pas.
Q: 3/11
L’équivalent décimal de 3 divisé par 11 est 0,27. Le chiffre 27 apparaît deux fois dans ce nombre. Parce qu’il se répète, 0,27, ou 0,2727…, c’est un nombre rationnel. C’est aussi un nombre décimal qui ne se termine pas.
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