Depuis la Grèce antique, les nombres premiers sont un sujet d’intérêt. Les nombres premiers sont importants, car ils sont les éléments constitutifs des nombres entiers, et leurs propriétés mathématiques bizarres les rendent parfaits pour une utilisation technologique. Euclide a été le premier à suggérer et à établir la notion de nombres premiers, selon laquelle il existe une liste infinie de nombres premiers.
Un brillant scientifique du nom d’Ératosthène, qui a vécu quelques siècles après Euclide, a inventé un théorème sophistiqué sur les nombres premiers pour déterminer tous les nombres premiers jusqu’à un nombre entier positif spécifique. Cette méthode est connue sous le nom de tamis d’Eratosthène. Faites un voyage dans le temps quelques milliers d’années plus tard, et nous voilà! Avec tout cela en tête, plongeons dans les nombres premiers!
Qu’est-ce qu’un nombre premier?
Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’a pas d’autres diviseurs positifs que lui-même et 1. Cela signifie qu’un nombre premier est un nombre entier positif qui a un diviseur positif autre que 1. C’est donc un nombre qui ne peut pas être factorisé par d’autres chiffres.
Considérons les diviseurs entiers positifs du nombre 7, qui sont 1 et 7. Dans ce cas, le nombre entier est un nombre premier. Cependant, si nous considérons le nombre 8, dont les facteurs sont 1, 2, 4 et 8, ce n’est pas un nombre premier. Lorsque nous examinons le nombre 1, nous pouvons constater qu’il n’a qu’un seul diviseur entier positif. Par conséquent, il ne s’agit pas d’un nombre premier, car les nombres premiers doivent avoir deux éléments.
Vous devez également savoir que selon la théorie des nombres, la conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu’il existe un nombre illimité de nombres premiers jumeaux ou de paires de nombres premiers qui diffèrent par deux. En voici quelques exemples:
- 3 et 5
- 5 et 7
- 11 et 13
- 17 et 19
Que sont exactement les facteurs ?
Comment les nombres premiers sont-ils utilisés dans le monde réel?
Les nombres premiers sont utilisés dans le monde réel de diverses manières:
- Les cigales les utilisent pour suivre leur cycle de vie;
- Les écrans actuels les utilisent pour déterminer l’intensité des couleurs des pixels;
- Les fabricants les utilisent pour éliminer les harmoniques de leurs produits;
- La cybersécurité utilise les nombres premiers, car ils sont irréductibles.
Quels que soient vos sentiments à l’égard des nombres premiers, ils sont utilisés dans la vie quotidienne et constituent un élément important de notre civilisation, car ils sont inextricablement liés à la trame du cosmos.
Liste des nombres premiers
Entre les entiers 1 et 100, il y a exactement 25 nombres premiers. Voici une liste complète des nombres premiers de 1 à 100:
Nombres premiers entre 1 et 20
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Nombres premiers compris entre 21 et 40
- 23, 29, 31, 37
Nombres premiers compris entre 41 et 60
- 41, 43, 47, 53, 59
Nombres premiers compris entre 61 et 100
- 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Comment trouver les multiples communs d’un nombre?
Propriétés des nombres premiers
- Les nombres premiers sont des nombres entiers supérieurs à 1.
- Ils ont deux facteurs, qui sont 1 et le nombre lui-même.
- Le seul nombre premier pair est 2.
- Tous les nombres peuvent être exprimés comme le produit de nombres premiers.
- Toutes les paires de nombres premiers sont co-primées entre elles.
Nombres premiers et nombres premiers entre eux
Il est important de faire la distinction entre les nombres premiers et les nombres premiers entre eux. Les nombres premiers entre eux sont des paires de nombres qui ne possèdent aucun facteur commun autre que 1 entre eux. Les nombres premiers entre eux ne doivent pas nécessairement être des nombres premiers pour être premiers entre eux, mais deux nombres premiers quelconques sont premiers entre eux.
Voici des exemples de nombres premiers entre eux:
- 5 et 9
- 6 et 11
- 18 et 35
Façons simples de trouver des nombres premiers
Il existe plusieurs méthodes pour trouver les nombres premiers. Examinons deux approches différentes.
Méthode #1
Dans la formule “n2 + n + 41”, remplacez n par un nombre entier. Tous les nombres entiers premiers supérieurs à 40 peuvent être trouvés à l’aide de cette formule. Vérifions en substituant quelques nombres entiers.
- 0x2 + 0 + 41 = 0 + 41 = 41 ; où n=0
- 1×2 + 1 + 41 = 2 + 41 = 43 ; où n=1
- 2×2 + 2 + 41 = 6 + 41 = 47 ; où n=2
Si vous continuez dans cette direction, vous serez en mesure de calculer tous les nombres premiers supérieurs à 40.
Méthode #2
À l’exception de 2 et 3, tout nombre premier peut s’écrire sous la forme “6n + 1” ou “6n – 1”. Donc, si vous avez un nombre qui n’est pas 2 ou 3, essayez de l’exprimer sous la forme de 6n + 1 ou 6n – 1 pour voir s’il est premier ou non.
- 1 – 6(1) = 5
- 6(1) + 1 = 7
- 1 – 6(2) = 11
- 13 = 6(2) + 1
Nous savons maintenant que 5, 7, 11 et 13 sont des nombres premiers.
Liste de nombres premiers impairs
| 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | ||
| 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 |
| 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 |
| 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 |
| 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 |
| 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 |
| 281 | 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 |
| 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 |
| 409 | 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 |
| 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 |
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 |
| 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 |
| 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 |
| 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 |
| 809 | 811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 |
| 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 |
| 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Il s’agit d’une question difficile, notamment parce que, à l’exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs jusqu’à l’infini. À part cela, tous les autres nombres premiers sont impairs. Le nombre 2 est également le plus petit nombre premier.
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Le plus grand nombre premier
Le plus grand nombre premier connu (en mars 2022) est 282 589 933 -1, qui, exprimé en base 10, compte 24 862 048 chiffres. Les 120 premiers chiffres de sa valeur sont indiqués ci-dessous:
148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 … (24,861,808 chiffres restants)
Toute personne qui télécharge le logiciel Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) et découvre un nouveau nombre premier de Mersenne avec moins de 100 millions de chiffres recevra une récompense de 3 000 USD pour sa découverte.
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