Les nombres réels qui ne peuvent être représentés sous forme de rapport sont appelés des nombres irrationnels. Bien que les nombres rationnels soient également des nombres réels, ils sont différents des nombres irrationnels. Au Ve siècle avant J.-C., Hippasus, un philosophe pythagoricien, a découvert les nombres irrationnels. Continuez à lire pour en savoir plus sur les nombres irrationnels et les différences entre les nombres irrationnels et rationnels.
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Qu’est-ce qu’un nombre irrationnel?
L’expansion décimale d’un nombre irrationnel n’est ni terminale ni répétitive. Par exemple, 2,59265… ne se termine pas, il s’agit donc d’un nombre irrationnel. Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction simple. Ils ne peuvent pas être énoncés sous la forme d’un rapport comme p/q, où p et q sont tous deux des entiers, et q ≠ 0.
Qu’est-ce qu’une décimale terminale et répétitive?
Même si une décimale répétitive possède un nombre infini de chiffres, ceux-ci sont tous connus. Les chiffres après la virgule ne peuvent pas tous être 0 pour que la décimale soit considérée comme répétitive. Pour les décimales non-terminales qui ne se répètent pas, tous les chiffres ne sont pas connus. Quel que soit le nombre de chiffres connus, il y aura toujours un chiffre après qui devra être déterminé.
Il convient de mentionner que 1/3 est une décimale répétitive ainsi qu’une décimale non terminale. Il est essentiel de saisir les différences entre les nombres décimaux rationnels et irrationnels pour les distinguer. Toutes les décimales qui se terminent par un chiffre sont des nombres rationnels. Les décimales terminales et répétitives peuvent être exprimées sous forme de fraction.
Il existe des nombres irrationnels non terminaux et non répétitifs, dont le plus notable est pi. Deux exemples sont pi (3,14159…) et la racine carrée de 2 (1,4142135…). Quel que soit le nombre de chiffres que l’on calcule, aucun d’eux ne se termine ou ne se répète.
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel?
En arithmétique, les nombres rationnels sont une sorte de nombre que l’on apprend normalement après les nombres entiers. Les nombres rationnels peuvent être représentés comme un quotient de deux nombres entiers. Ils sont exprimés sous la forme d’une fraction a / b, où a et b sont des entiers et b est différent de zéro.
Alors que les nombres complets composent les fractions, par exemple 2 est égal à 2/1, un nombre entier est la notation à l’intérieur de la fraction, c’est-à-dire le 2 dans 2/1. Cela peut porter à confusion, mais sachez que les nombres entiers sont un terme générique qui englobe tous les nombres.
Propriétés des nombres irrationnels
Les propriétés des nombres irrationnels nous aident à identifier les nombres irrationnels parmi un groupe de nombres réels:
- Les décimales non terminales et non récurrentes composent les nombres irrationnels.
- Seuls les nombres réels sont utilisés.
- Le résultat d’un nombre irrationnel x et d’un nombre rationnel y est un nombre irrationnel.
- Le produit de tout nombre irrationnel multiplié par tout nombre rationnel non nul est un nombre irrationnel. Le produit d’un nombre irrationnel multiplié par un nombre rationnel est irrationnel.
- Le plus petit commun multiple (LCM) de deux nombres irrationnels peut exister ou non.
- Deux nombres irrationnels additionnés, soustraits, multipliés et divisés peuvent être des nombres rationnels ou non.
Comment savoir si un nombre est irrationnel?
Les nombres rationnels peuvent être exprimés sous la forme d’un rapport ou d’une fraction. Les fractions ne peuvent pas être utilisées pour représenter les nombres irrationnels. Si un nombre peut être écrit ou traduit sous la forme p/q, où p et q sont des entiers et q est un nombre non nul, on dit qu’il est rationnel. Sinon, il est irrationnel.
Explication
Tout nombre qui peut être représenté ou écrit sous la forme p/q, où p et q sont des entiers et q est un nombre non nul, est un nombre rationnel.
Exemple: 12/5, -9/13, 8/1
En revanche, un nombre irrationnel ne peut pas être énoncé sous la forme p/q, et son développement décimal est non répétitif et non terminal.
Exemple: √2, √7, √11
Nous pouvons reconnaître et classer les nombres comme rationnels ou irrationnels à l’aide de ces définitions. La forme p/q est essentielle pour définir et classer les nombres rationnels et irrationnels. Si le nombre correspond à la forme p/q, il est rationnel. Sinon, il est irrationnel.
Symbole des nombres irrationnels
Examinons les symboles des différents types de nombres avant de nous intéresser aux nombres irrationnels.
- N représente les nombres naturels
- I représente les nombres imaginaires
- R représente les nombres réels
- Q représente les nombres rationnels
Les nombres rationnels et irrationnels constituent tous deux les nombres réels. Les nombres irrationnels peuvent être obtenus en soustrayant les nombres rationnels (Q) des nombres réels, comme défini par (R-Q) (R). Il est également possible de l’écrire sous la forme (R\Q).
Nombres rationnels vs. irrationnels
Un nombre rationnel est tout nombre qui peut être exprimé sous forme de rapport ou de fraction (p/q). Le numérateur (p) et le dénominateur (q), lorsque q n’est pas nul, peuvent être inclus. Un nombre complet ou un nombre entier peut être un nombre rationnel.
Prenons l’exemple de 2/3 = 0,6666 = 0,67. Comme la valeur décimale est répétée, nous avons calculé 0,67. √4 est égal à 2 et -2, où 2 est un nombre entier positif et -2 un nombre entier négatif.
Nombre rationnel
Il peut s’écrire sous forme de fraction ou de rapport, comme p/q, où q est inférieur à zéro. L’expansion décimale est récurrente et se termine ou ne se termine pas (se répète).
Exemple : 0,33333, 0,656565…, 1,75
Nombre irrationnel
Il ne peut être exprimé sous forme de fraction ou de rapport. À tout moment, l’expansion décimale est non terminale et non récurrente.
Exemple : π, √13, e
Exemples de nombres irrationnels
Lequel des nombres suivants est un nombre irrationnel?
2, √16, 1/2, √5
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous la forme d’une simple fraction et dont le développement décimal ne peut pas se terminer ou se répéter. Examinons les nombres énoncés ci-dessous:
- 2 est un nombre entier, ce n’est donc pas un nombre irrationnel.
- √16 semble pouvoir être un nombre irrationnel, mais la racine carrée de 16 est 4 sans reste. Par conséquent, il n’est pas irrationnel.
- 1/2 exprimé en décimal est 0,5 qui se termine et ne se répète pas. Par conséquent, ce n’est pas un nombre irrationnel.
- √5 est un nombre irrationnel, car la racine carrée est 2,23606797749978964091736 qui ne se termine pas.
Lequel des nombres suivants est le plus grand nombre irrationnel?
π, √5, 4.64378123…, √21
La conversion de tous ces nombres en décimales nous permettra de les comparer. Comme il s’agit de nombres irrationnels qui donnent lieu à un nombre infini de nombres décimaux, nous les limiterons à 3 décimales.
- π sous forme de décimale est égal à 3,143.
- √5 est 2,236.
- 4,644 peut rester tel quel.
- √21 est 4.582
En regardant toutes les décimales ci-dessus, nous pouvons les comparer pour déterminer laquelle est la plus grande.
Du plus grand au plus petit, les nombres irrationnels sont classés:
4.64378123…, √21, √5, π
7/12 est-il irrationnel?
Pour le savoir, nous devons convertir cette fraction en décimal:
0.5833…
12 ) 7.0000
60
100
96
40
36
40
36
4
Ainsi, 7/12 = 0,58333…
Il s’agit d’une décimale non terminale, ce qui signifie que 7/12 est un nombre irrationnel.
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