En arithmétique, les règles de divisibilité sont un ensemble de conditions de divisibilité qui s’appliquent à un nombre pour déterminer s’il est divisible ou non par un certain nombre. Les critères de divisibilité de base nous permettent de déterminer les facteurs et les multiples des nombres sans avoir à les diviser par un grand nombre. Elles constituent un raccourci mental pour trouver la réponse à des divisions compliquées.
Besoin d’un tuteur ?
Qu’est-ce qu’un critère de divisibilité?
Une règle de divisibilité est une astuce permettant de déterminer si un nombre entier donné est divisible par un diviseur en examinant ses chiffres plutôt qu’en passant par tout le processus de division. Plutôt que de trouver un diviseur par essais et erreurs, les critères de divisibilité vous donnent la réponse. Le diviseur d’un nombre est un nombre entier qui divise entièrement ce nombre.
Martin Gardner, un écrivain spécialisé en mathématiques et en sciences, a abordé les principes de divisibilité pour les nombres de 2 à 12 dans un article paru en 1962 dans Scientific American. D’après ses recherches, les règles de divisibilité de base étaient connues à la Renaissance et étaient utilisées pour réduire les fractions comportant des nombres élevés à leur plus simple expression. Certaines règles peuvent nous aider à déterminer le véritable diviseur d’un nombre en regardant simplement ses chiffres.
Comment faire une résolution de problème en mathématique
Les critères de divisibilité
Les règles de divisibilité de base de 2 à 12 seront abordées dans cette section. Comme tout nombre est divisible par un, la règle de divisibilité de un n’est pas nécessaire. Voici quelques critères de divisibilité de base:
Divisible par 2
- Nombre pair
- Un nombre dont le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemple: 140 se termine par un 0 donc il est divisible par 2.
Divisible par 3
- La somme de tous les chiffres (ex : 42 serait 4 + 2 = 6) est divisible par 3.
Exemple: La somme de 252 (2+5+2) est 9, ce qui est divisible par 3.
Divisible par 4
- Les deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
- Le nombre se termine par 00
Exemple: 780 est divisible par 4 parce que 80 est divisible par 4.
Divisible par 5
- Le nombre se termine par un 0 ou un 5.
Exemple: 2385 est divisible par 5, car il se termine par un 5.
Divisible par 6
- Si le nombre entier est divisible à la fois par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.
Exemple: 246 est divisible à la fois par 2 et 3 donc il est divisible par 6.
Divisible par 7
- Doublez le dernier chiffre (chiffre de l’unité) du nombre et soustrayez le dernier chiffre des chiffres restants. Le résultat doit être divisible par 7.
Exemple: 357 est divisible par 7, car lorsque le dernier chiffre, 7, est multiplié par 2 et soustrait des chiffres restants, le résultat est également divisible par 7 (7 x 2 = 14 et 35-14= 21).
Divisible par 8
- Les trois derniers chiffres sont divisibles par 8
- Le numéro se termine par 000
Exemple: 53 905 256 est divisible par 8, car 256 est divisible par 8.
Divisible par 9
- La somme des nombres doit être égale à 9, ou à un multiple de 9.
Exemple: 81 est divisible par 9, car 8+1 = 9. De même, 711 est divisible par 9, car 7+1+1 = 9. De même, 51984 est divisible par 9, car 5+1+9+8+4= 27 est un multiple de 9.
Divisible par 10
- Tout nombre qui se termine par un 0
Exemple: Tout nombre qui se termine par un 0 est divisible par 10.
Divisible par 11
- La différence de la somme des chiffres est 0 ou divisible par 11.
Exemple: Cet exemple est plus complexe que les autres. Prenez le nombre 2782, et calculez la différence entre les sommes : 2-7 + 2-8 = -11, ce qui est divisible par 11.
Divisible par 12
- Un nombre qui est divisible par 4 et 3.
Exemple: Si le nombre est divisible à la fois par 3 et par 4, alors il est également divisible par 12.
Comment rattraper un retard scolaire
Les facteurs peuvent être utiles
Les facteurs peuvent être utiles en mathématiques, puisqu’il s’agit de nombres ou d’expressions algébriques qui divisent un autre nombre ou une autre expression de manière égale, c’est-à-dire sans qu’il y ait de reste. Pour calculer les facteurs d’un nombre, nous devons d’abord déterminer quels nombres peuvent être divisés en lui. C’est là que les règles de divisibilité s’avèrent utiles!
Par exemple, trouvons les facteurs du nombre 230. Nous pouvons utiliser les règles de divisibilité pour trouver les facteurs de ce nombre. Comme il se termine par un 0, nous savons qu’il est divisible par 10 et 5. Nous pouvons donc diviser 230 par ces deux nombres pour trouver ses paires de facteurs:
230 / 10 = 23
230 / 5 = 46
Nous savons également qu’il est divisible par 2, car il peut être divisé en deux sans créer de décimale:
230 / 2 = 115
Est-ce qu’il répond à d’autres règles de divisibilité? Non. Les facteurs de 230 sont donc 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115 et 230.
Comment trouver les multiples communs d’un nombre
Divisibilité pour les nombres premiers
Les nombres premiers inférieurs à 20 et supérieurs à 10 sont divisés en utilisant des critères de divisibilité intermédiaires. La divisibilité des nombres premiers 2, 3, 5, 7 et 11 a déjà été testée.
Règles de 13
Lorsque nous divisons un nombre par 13 et que le reste du nombre est égal à 0, il est divisible par 13. Sans effectuer une longue division, le test de divisibilité de 13 nous permet de déterminer rapidement si un nombre est divisible par 13. Tout d’abord, nous devons multiplier le chiffre de l’unité par 4 selon la règle de divisibilité de 13. Ensuite, en excluant le chiffre à l’emplacement de l’unité, nous ajoutons le produit au reste du nombre à sa gauche. Si le résultat est un nombre divisible par 13, le nombre entier d’origine est également divisible par 13.
Règles de 17
Lorsque 17 divise entièrement un nombre entier, on dit qu’il est divisible par 17. D’abord, nous devons multiplier le chiffre de l’unité par 5 selon la règle de divisibilité de 17. Ensuite, en excluant le chiffre à l’emplacement de l’unité, nous soustrayons le produit du reste du nombre à sa gauche. Si la différence donne un nombre divisible par 17, le nombre initial est également divisible par 17.
Règles de 19
Lorsque l’on divise un nombre par 19 et que l’on obtient 0 comme reste, on dit que le nombre est divisible par 19. D’abord, nous devons multiplier le chiffre des unités par 2 selon la règle de divisibilité de 19. Ensuite, en excluant le chiffre à l’emplacement de l’unité, nous ajoutons le produit au reste du nombre à sa gauche. Si le résultat est un nombre divisible par 19, le nombre original est également divisible par 19.
Services de tutorat en mathématiques
De nombreux élèves ont de la difficulté en arithmétique. Heureusement, les élèves de l’école primaire, du secondaire, du cégep et même de l’université peuvent bénéficier des services de tutorat à domicile et en ligne de Tutorax. Si vous avez des difficultés en mathématiques, Tutorax peut vous aider, entre autres, à faire vos devoirs et à préparer vos examens.